Forme factorisée

Propriété 
On considère une fonction polynôme du second degré  \(f\)  définie   sur  \(\mathbb{R}\)   par  `f(x) = ax² + bx + c` , avec \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\)  trois réels et  \(a\)  non nul.

• Si  \(\Delta\)  > 0, `f(x)` peut s'écrire sous forme factorisée `f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)` avec `x_1` et `x_2` les solutions de l'équation  `f(x)=0` .
  
• Si  \(\Delta\)  = 0,  `f(x)` peut s'écrire sous forme factorisée `f(x) = a(x-x_0)^2`  avec `x_0` la solution de l'équation  `f(x)=0` .
  
• Si  \(\Delta\)  < 0, on ne peut pas factoriser `f(x)` dans `\mathbbR` .
  

Exemples

1. On considère la fonction  \(f\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `f(x) = 8(x - 9)(x+3)` .
L'équation du second degré associée admet deux solutions réelles :  \(x_1 = 9\)  et  \(x_2 = -3\) .
2. On considère la fonction  \(g\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `g(x) = 3x (x+12)` .
L'équation du second degré associée admet deux solutions réelles :  \(x_1 = 0\)  et  \(x_2 = -12\) .
3. On considère la fonction  \(h\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `h(x) = -2(x-4,5)^2` .
L'équation du second degré associée admet une unique solution réelle :  \(x_0 =4,5\) . 
4. La fonction carrée  `i(x) = x^2`  définie sur  \(\mathbb{R}\)  est sous forme factorisée avec  \(a=1\)  et  \(x_0 = 0\) .